Caderno do Aluno
Ensino Médio 1º Série
Matemática
Ensino Médio 1º Série
Matemática
RAMPAS, CORDAS, PARSECS – RAZÕES PARA ESTUDAR
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Páginas 3 - 7
1. Adotando-se a escala 1 : 1 000, ou seja, 1 cm : 10 m, deve-se desenhar um triângulo
retângulo de catetos 4 cm e 10 cm, como ilustrado a seguir:
2. Notamos, na figura, que + = 90º; logo, = 6º. Consultando uma tabela de
tangentes, ou usando uma calculadora, encontramos: tg 6º 0,105, ou seja, a
inclinação da rampa é 0,105, ou 10,5%. Isso significa que, a cada 100 m que
percorremos horizontalmente, nossa elevação vertical é de cerca de 10,5 m. Em
outras palavras, a cada metro percorrido horizontalmente, subimos cerca de 10,5 cm.
3. Se a inclinação da rampa é de 10%, então, aos 80 m horizontais correspondem 8 m,
ou seja, 800 cm de subida, na vertical. Se cada degrau deve ter no máximo 16 cm de
altura, devemos ter no mínimo
800
= 50 degraus.
16
a) As cordas de comprimentos c1 e c2 são diâmetros da circunferência dada; temos,
então, c1 = 2 m e c2 = 2 m.
As cordas de comprimentos c3, c4, c5 e c6 são lados de triângulos equiláteros em que
um dos lados é igual ao raio; logo, c3 = c4 = c5 = c6 = 1 m.
GABARITO
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Matemática – 1a série – Volume 4
Para calcular o comprimento c7, lembrando que todo ângulo inscrito em uma
semicircunferência mede 90º, podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo de lados c1, c6 e c7: (c1)2=(c6)2 + (c7)2 e, assim, obtemos c7 = 3 m 1,73 m.
A figura a seguir pode ajudar a lembrar que o triângulo citado é retângulo.
Observação: c1 é o diâmetro da circunferência e, portanto, igual a 2 m.
Note que o conjunto dos pontos de onde se vê uma corda dada em uma
circunferência qualquer sob um ângulo de 90º forma uma semicircunferência que
tem a referida corda como diâmetro.
b) Como o raio da circunferência é igual a 1, o valor da razão entre a semicorda e o
raio é igual ao comprimento de cada semicorda. Temos, portanto, a tabela a seguir:
GABARITO
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c) Se o raio da circunferência é igual a 5 m, então, a corda é proporcionalmente
maior do que a correspondente ao raio de 1 m, vista a partir do mesmo ângulo
central, que é 60º. A figura a seguir pode ajudar a compreender o que se afirma:
Logo, se a corda correspondente ao ângulo central de 60º é igual a 1 m (o valor do
raio) na circunferência de raio 1, então a corda correspondente ao mesmo ângulo na
circunferência de raio 5 m é igual a 5 m (cinco vezes maior).
d) Analogamente, se a corda tiver comprimento 100 m, sendo o ângulo central 60º,
então teremos a proporção:
Logo, R
Lembrando que sen 30º = 0,5, também, poderíamos escrever:
c3
sen 30º = 0,5 = 2 50 .
1
R
Daí, seguiria, naturalmente, que R
c3
1
.
100 R
100 100
100 m .
c3
1,0
50
100 m .
0,5
GABARITO
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e) Se a corda tiver 100 m, sendo o ângulo central igual a 6º, podemos proceder de
modo análogo ao que foi feito no item anterior, teremos:
sen 3º =
Determinando o valor do seno de 3º em uma tabela de senos, ou em uma calculadora,
obtemos o valor aproximado 0,052. Concluímos, então, que R 961,5 m.
50
50
. Logo, R
sen 3o
R
Páginas 8 - 10
a) até d) As igualdades são consequência imediata da definição do cosseno, da
cossecante e da cotangente como sendo, respectivamente, o seno, a secante e a
tangente do ângulo complementar.
e) e f) Como a secante é a razão hipotenusa/cateto adjacente, logo, sec = 1/cos
;
e, analogamente, cossec = 1/sen .
a
sen c a
tg .
g) e h) A observação direta mostra-nos que
cos b b
c
o
Analogamente, cotg = tg (90 )
i)
Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo de catetos a e b e de hipotenusa
c, obtemos: c2 = a2 + b2.
Dividindo os dois membros da igualdade por c2, obtemos:
a b
1 ou seja, 1 = sen2 + cos2 .
c c
j)
Efetuando as operações indicadas no primeiro membro, temos:
b2 a2 c2
a
1 tg 1
2 sec 2 .
b
b2
b
2
sen (90 o ) cos
.
cos (90 o ) sen
2
2
2
GABARITO
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Matemática – 1a série – Volume 4
k) Analogamente ao que foi feito em j):
a2 b2 c2
b
1 + cotg2 = 1
2 cos sec 2 .
2
a
a
a
2
Páginas 12 - 13
a) Pela definição de parsec, quanto menor o ângulo de paralaxe, maior a distância
entre o Sol e a estrela. Logo, se a distância entre o Sol e a estrela é de 10 parsec, o
ângulo de paralaxe é bem menor do que 1” (no caso, o ângulo será cerca de 10 vezes
menor, ou seja, 0,1”).
b) Temos: tg 1” = 0,000004848 = 1 UA/1 parsec.
Logo, 1 parsec/1 UA = 206 270, ou seja, 1 parsec = 206 270 UA.
c) Calculando a distância d percorrida pela luz em um ano, obtemos,
aproximadamente:
d = 365 . 24 . 60 . 60 . 300 000 = 9,46 . 1012 km.
Logo, sendo o parsec igual a 3,09. 1013 km, concluímos que 1 parsec 3,26 anos-luz.
a) Temos: tg 0,5” = 0,000002424 =
Logo, SE = 1/0,000002424 = 412 541 UA.
b) Notamos que, como o ângulo de paralaxe é muito pequeno, a tangente e o seno
têm aproximadamente o mesmo valor, ou seja, o cateto SE e a hipotenusa TE são
aproximadamente iguais. De fato, se fosse calculado o valor de TE, obteríamos:
1 UA
.
1 SE
TE2 = SE2 + ST2
Notamos que tal distância corresponde a cerca de 2 parsec.
412 5412 1 412 541 UA.
TE =
GABARITO
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
DOS TRIÂNGULOS À CIRCUNFERÊNCIA – VAMOS DAR UMA
VOLTA?
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Páginas 14 - 15
2. Os ângulos indicados são:
= 60º
= 120º
= 240º
= 300º
Como sen 30º =
1
3
e sen2 30º + cos2 30º = 1, cos 30º =
2
2
Logo: sen 60º = cos 30º =
3
2
sen 120º = sen 60º =
sen 240º = – sen 60º =
sen 300o = – sen 60o =
3
2
3
2
3
2
GABARITO
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Página 15
1. Basta lembrar que:
tg = sen /cos
sec = 1/cos
Naturalmente, nos pontos em que os denominadores são nulos, a razão
correspondente não existe.
cotg = cos /sen
cossec = 1/sen
Páginas 16 - 17
3. Vamos mostrar que o segmento TB representa a tangente de e que o segmento OB
representa a secante de .
GABARITO
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Matemática – 1a série – Volume 4
De fato, da semelhança dos triângulos OPA e OTB, resulta:
Como OA = OT = 1, OP = cos e PA = sen ,
segue que:
Logo,
TB
a)
1. Em consequência do resultado acima, aplicando-se o teorema de Pitágoras aos
triângulos OPA e OTB, obtemos:
cos2 + sen2 = 1
1 + tg2= sec2
2. Lembrando que cotg = tg (90º – ) e cossec = sec (90º – ), podemos
representar, analogamente ao que foi feito anteriormente, a secante e a
cossecante em uma figura similar, traçando-se a reta tangente ao ponto (0; 1),
como mostra a figura a seguir.
cos sen
1
.
TB
OB
1
sen
tg
cos
OB
1
sec
cos
GABARITO
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4. Comparando os segmentos orientados que representam o seno e o cosseno dos
ângulos citados, podemos concluir que:
a) sen 120o = cos 30º =
cos 120o = – sen 30o = –1/2
3
2
Um procedimento análogo, nos itens seguintes, conduziria às respostas abaixo.
Busque também fazer uma figura representando cada item.
b) sen 150º = sen 30º =
c) sen 210º = – sen 30º = –
sen 240o = – cos 30o =
d)
e) sen 300º = – cos 30º =
f)
sen 330º = – sen 30º = –
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
cos 150o = – cos 30o =
cos 210º = – cos 30º =
cos 240º = – sen 30º = –
cos 300º = sen 30º =
cos 330º = cos 30º =
GABARITO
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Páginas 17 - 18
a) Se o ponto P percorreu um arco correspondente ao ângulo central de 360º, então,
ele percorreu a circunferência inteira, cujo comprimento é 2 metros.
Logo, s = 2 metros. Sendo = 360º, então, sen 360º = 0.
b) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 180º, então ele percorreu
180/360, ou seja, a metade da circunferência, o que equivale a metros.
Sendo = 180º, então, sen 180º = 0.
c) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 90º, então ele percorreu
90/360, ou seja, um quarto da circunferência, o que equivale a /2 metros. Sendo =
90º, então, sen 90º = 1.
d) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 45º, então ele percorreu
45/360, ou seja, um oitavo da circunferência, o que equivale a /4 metros. Sendo
= 45º,
então, sen 45º =
e) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 30º, então ele percorreu
30/360, ou seja, 1/12 da circunferência, o que equivale a /6 metros. Sendo = 30º,
então, sen 30º =
Podemos generalizar os resultados até aqui obtidos da seguinte maneira:
Em uma circunferência de raio 1, os arcos correspondentes a 360º, 180º, 90º, 45º e
22,5º têm comprimentos iguais a, respectivamente, 2, , /2, /4 e /8 medidos na
mesma unidade do raio.
De modo geral, existe uma proporcionalidade direta entre a medida do arco e a
medida do ângulo central correspondente: se o ângulo central dobrar, o comprimento
do arco também dobrará, e assim por diante.
Desse fato decorre que, sendo o ângulo central , medido em graus, correspondente a
um arco de comprimento s, vale a proporção,
2
.
2
1
.
2
2 R
. 2 R .
, ou seja, s
360
360
s
GABARITO
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Página 19
As relações entre , s e c decorrem das seguintes expressões, já conhecidas:
c
c , ou seja, c 2 R . sen
2
sen
2
2 R 2R
s
2 R
.2 R
, ou seja, s
360
360
1
Para = 180º, temos: c = 2R. sen 90o = 2R e s . 2 R = R.
2
Para = 120º, temos: c = 2R. sen 60o = R
Para = 90º, temos: c = 2R . sen 45o = R
1
Para = 60º, temos: c = 2R. sen 30o = R e s = . 2R = R/3.
6
1
. 2R = 2R /3.
3
3 es=
1
. 2R = R/2.
4
2 es=
GABARITO
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Para = 30º, temos: c = 2R . sen 15o e s =
de senos ou usando uma calculadora, obtemos: c 0,52R).
Para = 10º, temos: c = 2R . sen 5o e s =
tabela de senos ou usando uma calculadora, obtemos: c 0,17R).
Para = 0º, temos: c = 2R . sen 0o = 0 e s = 0.
1
. 2R = R/6 (consultando uma tabela
12
1
. 2R R/18 (consultando uma
36
Para cada um dos valores de , é interessante sugerir aos alunos que façam uma
figura e observem as relações geométricas entre as cordas e os arcos, imaginando os
possíveis polígonos regulares cujos lados correspondem às cordas calculadas, quando
for o caso.
GABARITO
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS – REGULARIDADES NA
INSCRIÇÃO E NA CIRCUNSCRIÇÃO
Páginas 22 - 23
Basta substituir o valor de n pelo correspondente ao número de lados de cada
polígono nas expressões anteriormente obtidas:
360 o
n
=
(Os valores obtidos que não forem inteiros podem significar alguma dificuldade na
construção efetiva dos polígonos, mas não em sua concepção.)
i = 180º –
360 o
n
GABARITO
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2. Um quilógono regular seria confundido com uma circunferência devido ao grande
número de lados (1 000 lados). Note pela tabela que o ângulo central será muito
próximo de zero, e o ângulo interno muito próximo de 180º.
Página 23
a) Como a soma do ângulo interno com o ângulo externo deve ser igual a 180º,
para que os dois sejam iguais é preciso que ambos sejam iguais a 90º. O polígono
regular, nesse caso, é um quadrado.
b) Para que o ângulo interno seja igual ao dobro do ângulo externo, devemos ter
360
360
2.
, que resulta em n = 6. O polígono é um hexágono regular.
n
n
180
c) Se o ângulo central é igual ao ângulo interno, temos:
360
360
180
, que resulta em n = 4. O polígono procurado é um quadrado.
n
n
Páginas 26 - 28
a) Para n = 3, o ângulo central é igual a 360/n, ou seja, = 120º. Temos, então:
L3i = 2.sen 60o =
Para n = 6, o ângulo central é igual a 60º. Temos, então:
L6i = 2.sen 30o = 1 e L6c = 2.tg 30o = 2 3 /3 1,155.
Para n = 12, = 30o e temos:
L12i = 2.sen 15o 0,518 e L12c = 2.tg 15o 0,536.
Para n = 24, = 15o e temos:
L24i = 2.sen 7,5o 0,261 e L24c = 2.tg 7,5o = 0,263.
b) Analogamente, calculando os lados dos polígonos inscrito e circunscrito para os
valores indicados de n, temos:
o
3 1,732 e L3c = 2.tg 60 = 2 3 3,464.
GABARITO
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L4i 1,414 e L4c = 2;
L8i 0,765 e L8c 0,828;
L16i 0,390 e L16c 0,398;
L32i 0,196 e L32c 0,197.
É interessante o professor, a partir dos valores calculados, comentar e interpretar
geometricamente os seguintes fatos:
– Quanto mais aumenta o valor de n, mais diminui o comprimento do lado.
– Quanto mais aumenta o valor de n, menor se torna a diferença entre os valores de
Li e de Lc.
– Se multiplicarmos os valores de Li por n, o produto n . Li aproxima-se cada vez
mais de 2 ( 6,282), que é o comprimento da circunferência de raio 1 na qual os
polígonos estão sendo inscritos.
(para L16i 0,390, temos 16.L16i 6,24; para L32i 0,196, temos 32.L32i = 6,272).
O mesmo ocorre se multiplicarmos os valores dos lados dos polígonos circunscritos
pelo número de lados.
4. O lado do polígono inscrito na circunferência é igual a L36i = 2R . sen (/2), sendo
R = 5 cm e o ângulo central igual a 360/36 = 10º.
Calculando, obtemos: L36i = 2 . 5 . sen 5º 0,872.
O perímetro do polígono será igual a: p36 = 36 . L36i 31,392 cm.
O comprimento da circunferência é C = 2R 31,416.
A diferença porcentual pedida é igual a
31,416 31,392
0,000764 0,076% .
31,416
5. Para calcular a área do polígono circunscrito, basta calcular a área de um dos 36
pequenos triângulos em que ele se divide e multiplicar esse resultado por 36.
A área de um desses triângulos é a metade do produto da base L36c pela altura, que é
igual ao raio (1 dm). Logo, tal área vale (L36c . 1)/2.
Em consequência, a área do polígono circunscrito é igual a:
A36c= 36.(L36c . 1)/2 = 18 . L36c.
Calculando o lado do polígono, obtemos:
L36c = 2. tg 5º 0,175 dm.
GABARITO
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Matemática – 1a série – Volume 4
Logo, a área será igual a:
A36c = 18 . 0,175 = 3,150 dm2.
A área do círculo de raio R = 1 dm é igual a A = . 12 3,141 dm2.
A diferença porcentual pedida é
Para calcular a área do polígono regular inscrito, é necessário calcular a altura de
cada um dos triângulos em que ele se divide, que é chamada de apótema (ap) do
polígono. O
triângulo retângulo que tem como catetos a metade do lado do triângulo e o apótema,
e como hipotenusa o raio R da circunferência: ap2 + (Li/2)2 = R2. Algumas atividades
explorando tal fato seriam interessantes.
3,150 3,141
0,003 , ou seja, cerca de 0,3%.
3,141
apótema
pode
ser obtido usando-se o teorema de Pitágoras no
GABARITO
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
A HORA E A VEZ DOS TRIÂNGULOS NÃO RETÂNGULOS
Páginas 30 - 32
1. Para mostrar tal fato, basta traçar um diâmetro que passa pelo vértice do ângulo
inscrito e notar as relações entre os ângulos indicados:
x+y=
2x + z = 180º
2y + w = 180º.
Logo,
2x + 2y + (z + w) = 360,
ou seja, 2 + (z + w) = 360.
Como sabemos que + (z + w) = 360 (ver figura),
podemos concluir que 2 = , ou seja,
Essa relação pode ser aqui explorada, enunciando-se tal resultado de diferentes
modos, como, por exemplo:
, como queríamos mostrar.
2
GABARITO
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– Todos os ângulos inscritos em um arco de circunferência, que subentendem a mesma corda
(ver Figura 1) têm a mesma medida, que é a metade do ângulo central correspondente.
– Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência tem medida 90º (ver Figura 2.)
2. Traçando-se o diâmetro BP = d, notamos que o triângulo BCP é retângulo em C e
que o ângulo BPC é igual a , uma vez que é um ângulo inscrito no arco CAPB, que
tem o lado a como corda.
No triângulo retângulo BCP, temos: sen
a
em que d é o diâmetro da
d
circunferência circunscrita ao triângulo. Notamos, então, que
razão entre o lado a e o seno do ângulo oposto correspondente é igual ao diâmetro d
da circunferência.
GABARITO
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Matemática – 1a série – Volume 4
De modo inteiramente análogo, concluiríamos que
três razões lado/seno do ângulo oposto são iguais, o que significa que lados e senos
são proporcionais. Esse é o significado da Lei dos senos.
b
c
= d, ou seja, as
sen sen
a) O triângulo de lados 5 m, 6 m e 10 m não é retângulo, pois o maior lado ao
quadrado não é igual à soma dos outros dois: 102 > 62 + 52.
b) Se dobrarmos as medidas dos três lados, o novo triângulo será semelhante ao
inicial. Terá, portanto, os mesmos ângulos que ele.
c) Não é possível construir um triângulo com lados 5 m, 3 m e 10 m, pois a soma
de dois dos lados (3 m e 5 m) é menor que o terceiro lado (10 m), como mostra a
figura abaixo.
Para ser possível a construção de um triângulo com lados a, b e c, é necessário que
cada um dos lados seja menor do que a soma dos outros dois.
d) Os lados de um triângulo são diretamente proporcionais aos senos dos ângulos
opostos, ou seja:
5
6
10
.
sen sen sen
Portanto, a razão
sen
5
1
, ou seja, é igual a .
é igual a
sen
10
2
Página 32
1. Qualquer que seja a posição do ângulo α, seu seno, calculado no triângulo retângulo
que tem a hipotenusa como diâmetro, é igual a
1
. Logo α = 30o.
2
GABARITO
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Matemática – 1a série – Volume 4
Páginas 33 - 34
a) O triângulo não é retângulo, uma vez que o maior dos lados não é igual à soma
dos quadrados dos outros dois. Como 42 > 22 + 32, o triângulo tem um ângulo obtuso
oposto ao lado 4.
b) Para calcular o cosseno do ângulo , podemos escrever: c2 = a2 + b2 – 2ab . cos .
Logo, 16 = 4 + 9 – 2 . 2 . 3 . cos , ou seja, cos = –
(Notamos que cos < 0, pois > 90o)
c) Para calcular o seno dos outros dois ângulos, podemos escolher um dos
seguintes caminhos:
- Calculamos o cosseno de cada um deles, do mesmo modo utilizado para o cosseno
de , e, a partir daí, calculamos o seno por meio da relação fundamental
sen2 + cos2 = 1.
- Alternativamente, podemos calcular o seno de por meio da relação
sen2 + cos2 = 1 e, a partir daí, usar a Lei dos Senos.
Optando por esse segundo caminho, temos:
1
sen2 + (– )2 = 1, ou seja, sen =
4
(lembrar que tem seno positivo por ser um ângulo menor do que 180o)
Como temos, pela Lei dos senos, a proporção a seguir:
sen sen sen
4
2
3
concluímos que sen =
1
.
4
15
.
4
15
15
e sen = 3
.
8
16
5. Considerando o triângulo formado por F2, R e o segmento paralelo a F1, e sendo o
ângulo formado pelos lados F2 e F1, usando a Lei dos cossenos, temos:
GABARITO
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Matemática – 1a série – Volume 4
R2 = F22 + F12 – 2F1.F2.cos
Como os ângulos e são suplementares, isto é, a soma dos dois é igual a 180o,
cos = – cos . Em consequência:
R2 = F22 + F12 + 2F1.F2.cos
É importante destacar aqui que o ângulo , considerado na Física em geral, é o
ângulo entre as duas forças, e não o ângulo entre os dois lados do triângulo em que se
utiliza a Lei dos Cossenos. Como esses ângulos, entre as duas forças e entre os dois
lados do triângulo, são suplementares, os cossenos são simétricos. Em razão disso, os
sinais aparecem trocados no termo em que aparece o cosseno na lei e na fórmula da
resultante, usada na Física.
Páginas 34 - 36
2. Temos: R2 = 1002 + 1002 + 2 . 100 . 100 . cos
Substituindo os valores de , em cada um dos itens, obtemos:
a) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 0o = 40 000. Logo, R = 200.
b) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 30o = 20 000 + 10 000
Logo, R 193,2.
3 37 321.
GABARITO
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Matemática – 1a série – Volume 4
c) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 45o = 20 000 + 10 000
Logo, R 184,8.
d) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 60o = 20 000 + 10 000 = 30 000.
Logo, R 173,2.
e) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 90o = 20 000 + 0. Logo, R 141,4.
1
R2 = 20 000 + 20 000 . cos 120o = 20 000 + 20 000 . ( – ) = 10 000.
2
f)
Logo, R = 100.
g) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 150o = 20 000 + 20 000 . ( – 3 /2) 2 679.
Logo, R 51,8.
h) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 180o = 20 000 + 20 000.(–1) = 0. Logo, R = 0.
É interessante fazer uma figura para cada um dos valores de , representando a
resultante pela Regra do Paralelogramo e interpretando os resultados: quando o
ângulo mede 180º, por exemplo, as forças são diretamente opostas, e a resultante,
naturalmente, é igual a 0.