.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

RAMPAS, CORDAS, PARSECS – RAZÕES PARA ESTUDAR
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

Páginas 3 - 7

1. Adotando-se a escala 1 : 1 000, ou seja, 1 cm : 10 m, deve-se desenhar um triângulo

retângulo de catetos 4 cm e 10 cm, como ilustrado a seguir:

2. Notamos, na figura, que  +  = 90º; logo,  = 6º. Consultando uma tabela de

tangentes, ou usando uma calculadora, encontramos: tg 6º  0,105, ou seja, a

inclinação da rampa é 0,105, ou 10,5%. Isso significa que, a cada 100 m que

percorremos horizontalmente, nossa elevação vertical é de cerca de 10,5 m. Em

outras palavras, a cada metro percorrido horizontalmente, subimos cerca de 10,5 cm.

3. Se a inclinação da rampa é de 10%, então, aos 80 m horizontais correspondem 8 m,

ou seja, 800 cm de subida, na vertical. Se cada degrau deve ter no máximo 16 cm de

altura, devemos ter no mínimo

800
= 50 degraus.
16

a) As cordas de comprimentos c1 e c2 são diâmetros da circunferência dada; temos,

então, c1 = 2 m e c2 = 2 m.

As cordas de comprimentos c3, c4, c5 e c6 são lados de triângulos equiláteros em que

um dos lados é igual ao raio; logo, c3 = c4 = c5 = c6 = 1 m.

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Para calcular o comprimento c7, lembrando que todo ângulo inscrito em uma

semicircunferência mede 90º, podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo

retângulo de lados c1, c6 e c7: (c1)2=(c6)2 + (c7)2 e, assim, obtemos c7 = 3 m 1,73 m.

A figura a seguir pode ajudar a lembrar que o triângulo citado é retângulo.

Observação: c1 é o diâmetro da circunferência e, portanto, igual a 2 m.

Note que o conjunto dos pontos de onde se vê uma corda dada em uma

circunferência qualquer sob um ângulo de 90º forma uma semicircunferência que

tem a referida corda como diâmetro.

b) Como o raio da circunferência é igual a 1, o valor da razão entre a semicorda e o

raio é igual ao comprimento de cada semicorda. Temos, portanto, a tabela a seguir:

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

c) Se o raio da circunferência é igual a 5 m, então, a corda é proporcionalmente

maior do que a correspondente ao raio de 1 m, vista a partir do mesmo ângulo

central, que é 60º. A figura a seguir pode ajudar a compreender o que se afirma:

Logo, se a corda correspondente ao ângulo central de 60º é igual a 1 m (o valor do

raio) na circunferência de raio 1, então a corda correspondente ao mesmo ângulo na

circunferência de raio 5 m é igual a 5 m (cinco vezes maior).

d) Analogamente, se a corda tiver comprimento 100 m, sendo o ângulo central 60º,

então teremos a proporção:

Logo, R 

Lembrando que sen 30º = 0,5, também, poderíamos escrever:

c3
sen 30º = 0,5 = 2 50 .

1
R

Daí, seguiria, naturalmente, que R 

c3
1
 .
100 R

100 100

 100 m .
c3
1,0

50
 100 m .
0,5

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

e) Se a corda tiver 100 m, sendo o ângulo central igual a 6º, podemos proceder de

modo análogo ao que foi feito no item anterior, teremos:

sen 3º =

Determinando o valor do seno de 3º em uma tabela de senos, ou em uma calculadora,

obtemos o valor aproximado 0,052. Concluímos, então, que R  961,5 m.

50
50
. Logo, R 
sen 3o
R

Páginas 8 - 10

a) até d) As igualdades são consequência imediata da definição do cosseno, da

cossecante e da cotangente como sendo, respectivamente, o seno, a secante e a

tangente do ângulo complementar.

e) e f) Como a secante é a razão hipotenusa/cateto adjacente, logo, sec  = 1/cos

;

e, analogamente, cossec  = 1/sen .

a
sen  c a
   tg  .
g) e h) A observação direta mostra-nos que
cos  b b
c

o
Analogamente, cotg  = tg (90   ) 

i)

Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo de catetos a e b e de hipotenusa

c, obtemos: c2 = a2 + b2.

Dividindo os dois membros da igualdade por c2, obtemos:

a b
1       ou seja, 1 = sen2  + cos2 .
c c

j)

Efetuando as operações indicadas no primeiro membro, temos:

b2  a2 c2
a
1  tg   1    
 2  sec 2  .
b
b2
b


2

sen (90 o   ) cos 

.
cos (90 o   ) sen 

2

2

2

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

k) Analogamente ao que foi feito em j):

a2  b2 c2
b
1 + cotg2  = 1    
 2  cos sec 2  .
2
a
a
a

2

Páginas 12 - 13

a) Pela definição de parsec, quanto menor o ângulo de paralaxe, maior a distância

entre o Sol e a estrela. Logo, se a distância entre o Sol e a estrela é de 10 parsec, o

ângulo de paralaxe é bem menor do que 1” (no caso, o ângulo será cerca de 10 vezes

menor, ou seja, 0,1”).

b) Temos: tg 1” = 0,000004848 = 1 UA/1 parsec.

Logo, 1 parsec/1 UA = 206 270, ou seja, 1 parsec = 206 270 UA.

c) Calculando a distância d percorrida pela luz em um ano, obtemos,

aproximadamente:

d = 365 . 24 . 60 . 60 . 300 000 = 9,46 . 1012 km.

Logo, sendo o parsec igual a 3,09. 1013 km, concluímos que 1 parsec  3,26 anos-luz.

a) Temos: tg 0,5” = 0,000002424 =

Logo, SE = 1/0,000002424 = 412 541 UA.

b) Notamos que, como o ângulo de paralaxe é muito pequeno, a tangente e o seno

têm aproximadamente o mesmo valor, ou seja, o cateto SE e a hipotenusa TE são

aproximadamente iguais. De fato, se fosse calculado o valor de TE, obteríamos:

1 UA
.
1 SE

TE2 = SE2 + ST2

Notamos que tal distância corresponde a cerca de 2 parsec.

412 5412  1  412 541 UA.

TE =

GABARITO

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

DOS TRIÂNGULOS À CIRCUNFERÊNCIA – VAMOS DAR UMA
VOLTA?

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Páginas 14 - 15

2. Os ângulos indicados são:

 = 60º

 = 120º

 = 240º

 = 300º

Como sen 30º =

1
3
e sen2 30º + cos2 30º = 1, cos 30º =
2
2

Logo: sen 60º = cos 30º =

3
2

sen 120º = sen 60º =

sen 240º = – sen 60º = 

sen 300o = – sen 60o = 

3
2

3
2

3
2

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Página 15

1. Basta lembrar que:

tg  = sen /cos 

sec  = 1/cos 

Naturalmente, nos pontos em que os denominadores são nulos, a razão

correspondente não existe.

cotg  = cos /sen 

cossec  = 1/sen 

Páginas 16 - 17

3. Vamos mostrar que o segmento TB representa a tangente de  e que o segmento OB

representa a secante de .

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

De fato, da semelhança dos triângulos OPA e OTB, resulta:

Como OA = OT = 1, OP = cos  e PA = sen ,

segue que:

Logo,

TB 

a)

1. Em consequência do resultado acima, aplicando-se o teorema de Pitágoras aos

triângulos OPA e OTB, obtemos:

cos2  + sen2  = 1

1 + tg2= sec2 

2. Lembrando que cotg  = tg (90º – ) e cossec  = sec (90º – ), podemos

representar, analogamente ao que foi feito anteriormente, a secante e a

cossecante em uma figura similar, traçando-se a reta tangente ao ponto (0; 1),

como mostra a figura a seguir.

cos  sen 
1


.
TB
OB
1

sen 
 tg 
cos 

OB 

1
 sec 
cos 

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

4. Comparando os segmentos orientados que representam o seno e o cosseno dos

ângulos citados, podemos concluir que:

a) sen 120o = cos 30º =

cos 120o = – sen 30o = –1/2

3
2

Um procedimento análogo, nos itens seguintes, conduziria às respostas abaixo.

Busque também fazer uma figura representando cada item.

b) sen 150º = sen 30º =

c) sen 210º = – sen 30º = –

sen 240o = – cos 30o = 

d)

e) sen 300º = – cos 30º = 

f)

sen 330º = – sen 30º = –

1
2

1
2

3
2

3
2

1
2

cos 150o = – cos 30o = 

cos 210º = – cos 30º = 

cos 240º = – sen 30º = –

cos 300º = sen 30º =

cos 330º = cos 30º =

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Páginas 17 - 18

a) Se o ponto P percorreu um arco correspondente ao ângulo central de 360º, então,

ele percorreu a circunferência inteira, cujo comprimento é 2 metros.

Logo, s = 2 metros. Sendo  = 360º, então, sen 360º = 0.

b) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 180º, então ele percorreu

180/360, ou seja, a metade da circunferência, o que equivale a  metros.

Sendo  = 180º, então, sen 180º = 0.

c) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 90º, então ele percorreu

90/360, ou seja, um quarto da circunferência, o que equivale a /2 metros. Sendo  =

90º, então, sen 90º = 1.

d) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 45º, então ele percorreu

45/360, ou seja, um oitavo da circunferência, o que equivale a /4 metros. Sendo

 = 45º,

então, sen 45º =

e) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 30º, então ele percorreu

30/360, ou seja, 1/12 da circunferência, o que equivale a /6 metros. Sendo  = 30º,

então, sen 30º =

Podemos generalizar os resultados até aqui obtidos da seguinte maneira:

Em uma circunferência de raio 1, os arcos correspondentes a 360º, 180º, 90º, 45º e

22,5º têm comprimentos iguais a, respectivamente, 2, , /2, /4 e /8 medidos na

mesma unidade do raio.

De modo geral, existe uma proporcionalidade direta entre a medida do arco e a

medida do ângulo central correspondente: se o ângulo central dobrar, o comprimento

do arco também dobrará, e assim por diante.

Desse fato decorre que, sendo o ângulo central , medido em graus, correspondente a

um arco de comprimento s, vale a proporção,

2
.
2

1
.
2

2 R

. 2 R .
, ou seja, s 
360
360

s





GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Página 19

As relações entre , s e c decorrem das seguintes expressões, já conhecidas:

c

c , ou seja, c  2 R . sen
 2
sen  
2
2 R 2R

s



2 R

.2 R
, ou seja, s 
360
360



1
Para  = 180º, temos: c = 2R. sen 90o = 2R e s  . 2  R =  R.
2

Para  = 120º, temos: c = 2R. sen 60o = R

Para  = 90º, temos: c = 2R . sen 45o = R

1
Para  = 60º, temos: c = 2R. sen 30o = R e s = . 2R = R/3.
6

1
. 2R = 2R /3.
3

3 es=

1
. 2R = R/2.
4

2 es=

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Para  = 30º, temos: c = 2R . sen 15o e s =

de senos ou usando uma calculadora, obtemos: c  0,52R).

Para  = 10º, temos: c = 2R . sen 5o e s =

tabela de senos ou usando uma calculadora, obtemos: c  0,17R).

Para  = 0º, temos: c = 2R . sen 0o = 0 e s = 0.

1
. 2R = R/6 (consultando uma tabela
12

1
. 2R  R/18 (consultando uma
36

Para cada um dos valores de , é interessante sugerir aos alunos que façam uma

figura e observem as relações geométricas entre as cordas e os arcos, imaginando os

possíveis polígonos regulares cujos lados correspondem às cordas calculadas, quando

for o caso.

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS – REGULARIDADES NA
INSCRIÇÃO E NA CIRCUNSCRIÇÃO

Páginas 22 - 23

Basta substituir o valor de n pelo correspondente ao número de lados de cada

polígono nas expressões anteriormente obtidas:

360 o
n

=

(Os valores obtidos que não forem inteiros podem significar alguma dificuldade na

construção efetiva dos polígonos, mas não em sua concepção.)

i = 180º –

360 o
n

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

2. Um quilógono regular seria confundido com uma circunferência devido ao grande

número de lados (1 000 lados). Note pela tabela que o ângulo central será muito

próximo de zero, e o ângulo interno muito próximo de 180º.

Página 23

a) Como a soma do ângulo interno com o ângulo externo deve ser igual a 180º,

para que os dois sejam iguais é preciso que ambos sejam iguais a 90º. O polígono

regular, nesse caso, é um quadrado.

b) Para que o ângulo interno seja igual ao dobro do ângulo externo, devemos ter

360
360
 2.
, que resulta em n = 6. O polígono é um hexágono regular.
n
n

180 

c) Se o ângulo central é igual ao ângulo interno, temos:

360
360
 180 
, que resulta em n = 4. O polígono procurado é um quadrado.
n
n

Páginas 26 - 28

a) Para n = 3, o ângulo central  é igual a 360/n, ou seja,  = 120º. Temos, então:

L3i = 2.sen 60o =

Para n = 6, o ângulo central  é igual a 60º. Temos, então:

L6i = 2.sen 30o = 1 e L6c = 2.tg 30o = 2 3 /3  1,155.

Para n = 12,  = 30o e temos:

L12i = 2.sen 15o  0,518 e L12c = 2.tg 15o  0,536.

Para n = 24,  = 15o e temos:

L24i = 2.sen 7,5o  0,261 e L24c = 2.tg 7,5o = 0,263.

b) Analogamente, calculando os lados dos polígonos inscrito e circunscrito para os

valores indicados de n, temos:

o
3  1,732 e L3c = 2.tg 60 = 2 3  3,464.

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

L4i  1,414 e L4c = 2;

L8i  0,765 e L8c  0,828;

L16i  0,390 e L16c  0,398;

L32i  0,196 e L32c  0,197.

É interessante o professor, a partir dos valores calculados, comentar e interpretar

geometricamente os seguintes fatos:

– Quanto mais aumenta o valor de n, mais diminui o comprimento do lado.

– Quanto mais aumenta o valor de n, menor se torna a diferença entre os valores de

Li e de Lc.

– Se multiplicarmos os valores de Li por n, o produto n . Li aproxima-se cada vez

mais de 2 ( 6,282), que é o comprimento da circunferência de raio 1 na qual os

polígonos estão sendo inscritos.

(para L16i  0,390, temos 16.L16i  6,24; para L32i  0,196, temos 32.L32i = 6,272).

O mesmo ocorre se multiplicarmos os valores dos lados dos polígonos circunscritos

pelo número de lados.

4. O lado do polígono inscrito na circunferência é igual a L36i = 2R . sen (/2), sendo

R = 5 cm e o ângulo central  igual a 360/36 = 10º.

Calculando, obtemos: L36i = 2 . 5 . sen 5º  0,872.

O perímetro do polígono será igual a: p36 = 36 . L36i  31,392 cm.

O comprimento da circunferência é C = 2R  31,416.

A diferença porcentual pedida é igual a

31,416  31,392
 0,000764  0,076% .
31,416

5. Para calcular a área do polígono circunscrito, basta calcular a área de um dos 36

pequenos triângulos em que ele se divide e multiplicar esse resultado por 36.

A área de um desses triângulos é a metade do produto da base L36c pela altura, que é

igual ao raio (1 dm). Logo, tal área vale (L36c . 1)/2.

Em consequência, a área do polígono circunscrito é igual a:

A36c= 36.(L36c . 1)/2 = 18 . L36c.

Calculando o lado do polígono, obtemos:

L36c = 2. tg 5º  0,175 dm.

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Logo, a área será igual a:

A36c = 18 . 0,175 = 3,150 dm2.

A área do círculo de raio R = 1 dm é igual a A = . 12  3,141 dm2.

A diferença porcentual pedida é

Para calcular a área do polígono regular inscrito, é necessário calcular a altura de

cada um dos triângulos em que ele se divide, que é chamada de apótema (ap) do

polígono. O

triângulo retângulo que tem como catetos a metade do lado do triângulo e o apótema,

e como hipotenusa o raio R da circunferência: ap2 + (Li/2)2 = R2. Algumas atividades

explorando tal fato seriam interessantes.

3,150  3,141
 0,003 , ou seja, cerca de 0,3%.
3,141

apótema

pode

ser obtido usando-se o teorema de Pitágoras no

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

A HORA E A VEZ DOS TRIÂNGULOS NÃO RETÂNGULOS

Páginas 30 - 32

1. Para mostrar tal fato, basta traçar um diâmetro que passa pelo vértice do ângulo

inscrito e notar as relações entre os ângulos indicados:

x+y=

2x + z = 180º

2y + w = 180º.

Logo,

2x + 2y + (z + w) = 360,

ou seja, 2 + (z + w) = 360.

Como sabemos que  + (z + w) = 360 (ver figura),

podemos concluir que 2 = , ou seja,  

Essa relação pode ser aqui explorada, enunciando-se tal resultado de diferentes

modos, como, por exemplo:



, como queríamos mostrar.

2

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

– Todos os ângulos inscritos em um arco de circunferência, que subentendem a mesma corda
(ver Figura 1) têm a mesma medida, que é a metade do ângulo central correspondente.

– Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência tem medida 90º (ver Figura 2.)

2. Traçando-se o diâmetro BP = d, notamos que o triângulo BCP é retângulo em C e

que o ângulo BPC é igual a , uma vez que é um ângulo inscrito no arco CAPB, que

tem o lado a como corda.

No triângulo retângulo BCP, temos: sen  

a
em que d é o diâmetro da
d

circunferência circunscrita ao triângulo. Notamos, então, que

razão entre o lado a e o seno do ângulo oposto correspondente é igual ao diâmetro d

da circunferência.

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

De modo inteiramente análogo, concluiríamos que

três razões lado/seno do ângulo oposto são iguais, o que significa que lados e senos

são proporcionais. Esse é o significado da Lei dos senos.

b
c

= d, ou seja, as
sen  sen 

a) O triângulo de lados 5 m, 6 m e 10 m não é retângulo, pois o maior lado ao

quadrado não é igual à soma dos outros dois: 102 > 62 + 52.

b) Se dobrarmos as medidas dos três lados, o novo triângulo será semelhante ao

inicial. Terá, portanto, os mesmos ângulos que ele.

c) Não é possível construir um triângulo com lados 5 m, 3 m e 10 m, pois a soma

de dois dos lados (3 m e 5 m) é menor que o terceiro lado (10 m), como mostra a

figura abaixo.

Para ser possível a construção de um triângulo com lados a, b e c, é necessário que

cada um dos lados seja menor do que a soma dos outros dois.

d) Os lados de um triângulo são diretamente proporcionais aos senos dos ângulos

opostos, ou seja:

5
6
10


.
sen  sen  sen 

Portanto, a razão

sen 
5
1
, ou seja, é igual a .
é igual a
sen 
10
2

Página 32

1. Qualquer que seja a posição do ângulo α, seu seno, calculado no triângulo retângulo

que tem a hipotenusa como diâmetro, é igual a

1
. Logo α = 30o.
2

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

Páginas 33 - 34

a) O triângulo não é retângulo, uma vez que o maior dos lados não é igual à soma

dos quadrados dos outros dois. Como 42 > 22 + 32, o triângulo tem um ângulo obtuso

oposto ao lado 4.

b) Para calcular o cosseno do ângulo , podemos escrever: c2 = a2 + b2 – 2ab . cos .

Logo, 16 = 4 + 9 – 2 . 2 . 3 . cos , ou seja, cos  = –

(Notamos que cos  < 0, pois  > 90o)

c) Para calcular o seno dos outros dois ângulos, podemos escolher um dos

seguintes caminhos:

- Calculamos o cosseno de cada um deles, do mesmo modo utilizado para o cosseno

de , e, a partir daí, calculamos o seno por meio da relação fundamental

sen2  + cos2  = 1.

- Alternativamente, podemos calcular o seno de  por meio da relação

sen2 + cos2  = 1 e, a partir daí, usar a Lei dos Senos.

Optando por esse segundo caminho, temos:

1
sen2  + (– )2 = 1, ou seja, sen  =
4

(lembrar que  tem seno positivo por ser um ângulo menor do que 180o)

Como temos, pela Lei dos senos, a proporção a seguir:

sen  sen  sen 


4
2
3

concluímos que sen  =

1
.
4

15
.
4

15
15
e sen  = 3
.
8
16

5. Considerando o triângulo formado por F2, R e o segmento paralelo a F1, e sendo  o

ângulo formado pelos lados F2 e F1, usando a Lei dos cossenos, temos:

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

R2 = F22 + F12 – 2F1.F2.cos 

Como os ângulos  e  são suplementares, isto é, a soma dos dois é igual a 180o,

cos  = – cos . Em consequência:

R2 = F22 + F12 + 2F1.F2.cos 

É importante destacar aqui que o ângulo , considerado na Física em geral, é o

ângulo entre as duas forças, e não o ângulo entre os dois lados do triângulo em que se

utiliza a Lei dos Cossenos. Como esses ângulos, entre as duas forças e entre os dois

lados do triângulo, são suplementares, os cossenos são simétricos. Em razão disso, os

sinais aparecem trocados no termo em que aparece o cosseno na lei e na fórmula da

resultante, usada na Física.

Páginas 34 - 36

2. Temos: R2 = 1002 + 1002 + 2 . 100 . 100 . cos 

Substituindo os valores de , em cada um dos itens, obtemos:

a) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 0o = 40 000. Logo, R = 200.

b) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 30o = 20 000 + 10 000

Logo, R  193,2.

3  37 321.

GABARITO

Caderno do Aluno

Matemática – 1a série – Volume 4

c) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 45o = 20 000 + 10 000

Logo, R  184,8.

d) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 60o = 20 000 + 10 000 = 30 000.

Logo, R  173,2.

e) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 90o = 20 000 + 0. Logo, R  141,4.

1
R2 = 20 000 + 20 000 . cos 120o = 20 000 + 20 000 . ( – ) = 10 000.
2

f)

Logo, R = 100.

g) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 150o = 20 000 + 20 000 . ( – 3 /2)  2 679.

Logo, R  51,8.

h) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 180o = 20 000 + 20 000.(–1) = 0. Logo, R = 0.

É interessante fazer uma figura para cada um dos valores de , representando a

resultante pela Regra do Paralelogramo e interpretando os resultados: quando o

ângulo  mede 180º, por exemplo, as forças são diretamente opostas, e a resultante,

naturalmente, é igual a 0.